平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

平面向量

Plane vector

数学、物理学

数学

哈密顿

发展历程

向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着丰富的实际背景.在本章中,大家将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.[1]

物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。

现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

表示方法

几何表示

具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。

相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，

向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，

在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）

长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）

零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。

模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

坐标表示

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a=xi+yj

我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作

a=（x，y），

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。

书写方法

印刷体：只用小写字母表示时，采用加粗黑体；用首尾点大写字母表示时，需要在字母上加箭头，如；

手写体：均需在字母上加箭头表示。

运算性质

向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。

下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

减法运算

AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量）

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。

坐标运算

已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则

a+b=（x1+x2,y1+y2）

a-b=（x1-x2，y1-y2）

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

由此可以得到：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

根据上面的结论又可得

若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

数量积

（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量a与b的夹角。

（2）数量积的定义：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

（3）数量积几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

（4）向量的数量积的性质：

a·a=∣a∣^2≥0

a·b=b·a

k(ab)=(ka)b=a(kb)

a·(b+c)=a·b+a·c

a·b=0<=>a⊥b

a=kb<=>a//b

e1·e2=|e1||e2|cosθ

向量积

（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉。

（2）已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向为垂直于a和b，且a、和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

（3）向量积几何意义：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

（4）向量积性质：

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

共线问题

1、a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个λ使b=λa.

2、当向量OC=（1-λ）向量OA+λ向量OB时，A,B,C三点共线.

基本定理

如果e和e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a=λe+μe。